Hermoso texto con el cual sólo puede decir al profesor Don Enrique Requena Fraile, gracias por proporcionarme su trabajo. Sinceramente, gracias, maestro.
Probablemente se comprenda mi amor por la Edad Media, preocupada por tierras, tesoros y dioses. Pero, sobre todo, preocupada por transmitir su ansiedad por aprehender con sus manos lo que nuestros ojos miran y nuestros oídos escuchan en el perfumado jardín donde habitamos todos, perplejos por el ¿porqué? y el ¿para qué?
EL CRONICÓN ALBELDENSE EN LA ENCRUCIJADA
MEDIEVAL DE LOS NÚMEROS
(Actas VIII Congreso de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas )
1. Introducción
ÁNGEL REQUENA FRAILE
Profesor de Secundaria, San Sebastián de los Reyes
Cuando en el año 976 el monje Vigila terminaba un bello códice en el scripto-
rium de San Martín de Albelda de Iregua no podía imaginar que una breve referencia marginal al ingenio de los hindúes, y la caligrafía de nueve extraños símbolos,
iba a convertir sus pergaminos en una referencia obligada en todas las historias de
las cifras y sistemas de numeración.
Vigila ni siquiera se permitió ordenar los números indios en el orden cristiano,
quedan de mayor a menor tal como hacían los andalusíes al escribirlos de izquierda
a derecha:
En el año 976 el califato cordobés estaba en su máximo esplendor, pero aquel
año moriría el califa ilustrado Alhaken II dando paso a un periodo de inestabilidad
que acabaría con el poder político cordobés, si bien a los musulmanes de Al-
Ándalus les quedaban siglos de irradiación cultural.
El centón de Albelda contiene la primera muestra escrita identificable de nuestras nueve cifras, siendo reconocibles inmediatamente siete de ellos, que apenas han
sufrido mutaciones, mientras que las otras dos (el 4 y el 5) todavía se verán sometidas a un proceso de cambio hasta estabilizarse llegado el siglo XV en el occidente
cristiano.
La Edad Media en la península ibérica con su mestizaje cultural se va a convertir
en una verdadera babel de los números: numeración romana, griega, judía, árabe
absoluta, distintas rumies, árabe decimal oriental y gubares occidentales (magrebí-
andalusíes). Todo ello muestra algo digno de revivir desde la ciudad de Logroño tan
próxima al desaparecido cenobio riojano de San Martín, cuyos códices pasaron a la
biblioteca de San Lorenzo de El Escorial.
A rendir homenaje a los iluminadores de Albelda y a describir los distintos sistemas de numeración y su uso en los reinos y taifas hispano-andalusíes está dedicada esta ponencia.
2. El largo camino del número
Las sociedades primitivas, hordas o tribus, no requerían ni elaboradas palabras
ni grandes sistemas de representación para indicar cantidades. Los antropólogos
hablan del uso exclusivo del uno, el dos y el muchos en algunos pueblos. Los psicobiólogos plantean la confusión visual a partir de cuatro unidades para poder precisar.
Al pastor le basta una bolsa de guijarros para establecer una relación biyectiva
que cuantifique su rebaño. También con marcas o muescas en un palo o un hueso se
puede conservar una relación numérica. Algunos pueblos pueden recurrir a nudos
en una cuerda y establecer series nemotécnicas con cuerdas, y si no se dispone de
otra cosa, se pueden establecer correspondencias con las partes del cuerpo: falanges,
dedos, brazos, piernas, etc.
La necesidad de concretar cantidades y computar va unida a las civilizaciones.
Escribas y sacerdotes primero, y comerciantes más tarde establecen sistemas de
numeración que cuantifican de forma precisa el número de objetos.
Algunos estudiosos establecen incluso que la representación numérica es ante-
rior y facilitadora del paso a la escritura. En todo caso, la escritura literaria y la
numeración escrita van a ir muy unidas desde los orígenes.
Ya a las primeras civilizaciones encontramos la línea divisoria entre los dos
grandes sistemas de numeración: el sistema absoluto aditivo y el sistema relativo o
posicional. Si bien también podríamos distinguir entre sistemas alfabéticos o ideo-
grafícos según los símbolos usados.
3. Los sistemas absolutos
Los sistemas absolutos establecen un valor para cada símbolo, obteniéndose el
número representado como suma o diferencia del valor de todos los símbolos usados. Para el objeto de esta comunicación distinguimos entre la numeración romana
y la griega.
En la numeración romana los símbolos se repiten y aunque sean alfabéticos, su
origen parece ser el de las muescas:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX X...
La escritura numérica griega clásica (al igual que las hebrea, fenicia, árabe primitiva o copta) es puramente alfabética con conversión de los símbolos a unidades,
decenas o centenas. Los símbolos no se repiten:
αβγδ...
4. Los sistemas relativos
Aritmética de Beda. Copia s XII
Cuando un símbolo numérico cambia de valor según el lugar que ocupa el sis-
tema es relativo o de posición. El sistema que se ha impuesto casi universalmente es
el posicional de diez símbolos (sistema base diez)
La primera aparición histórica del posicional (¡¡con base sesenta!!) se remonta a
la civilización sumeria. En escritura cuneiforme y con sólo dos símbolos: el clavo
(unidad) y la espiga (decena) se podían representar números enormes usando el
doble valor: el propio y el relativo.
El éxito de la base sesenta, posiblemente un híbrido entre decimal y duodecimal,
es un verdadero óptimo para el cálculo (diez divisores propios frente a sólo dos de
la base diez), de aquí su éxito en el tiempo: las medidas horarias y angulares han
resistido incluso la racionalización del sistema métrico decimal (cien sólo tiene siete
divisores propios aunque sea mucho mayor que sesenta).
El sistema posicional tiene un grave problema cuando no existe un símbolo que
indique la posición: se produce ambigüedad: los números 1, 10 ó 100 se representarían igual si no existiera el cero que indica el verdadero valor de la cantidad escrita.
El símbolo separador o indicador de vacío aparece por primera vez poco antes de la
época seleúcida (siglo IV ac).
5. Orígenes del sistema decimal contemporáneo
Aunque nuestras cifras se llamen árabes (correcto en su procedencia inmediata),
los árabes siempre las llamaron hindúes, “testimonio de la agudeza de las ideas de
los indios”.
En el siglo V de nuestra era el sistema ya estaba establecido, cero incluido, pues
los astrónomos y matemáticos indios lo usaban de forma general. El primer testi-
monio hacia Occidente nos lo ofrece el obispo de la iglesia siria de Keneikre sobre
el Eúfrates, Severo Sébokt, hacia el año 662:
“No voy a hablar de la ciencia de los hindúes ni del método elocuente de sus
cálculos, ni de su numeración que va más allá de las palabras; quiero referirme a
lo que han hecho con nueve cifras...” [IFRAH, 1997]
El conocimiento de las cifras hindúes en el mundo islámico se suele asociar a los
orígenes de la monarquía abbassí, al califa Abul Abbas al-Safáh (749-754). El judío
español Abraham Ibn Ezra (siglo XII) lo asocia al Calila y Dimna :“se envió al
judío Arinda, de donde llevó de regreso a uno que conocía los números indios
[ANTELO, A. 1991, p. 278].
La generalización y extensión de los números indios van unidas al astrónomo-
matemático del siglo IX Muhammad ibn Musa al-Jwarizmí. Los numerales van
vinculados pues al álgebra y a las tablas astronómicas, los tres campos de trabajo de
al-Jwarizmí. Occidente heredará junto a la ciencia los términos: álgebra, cifra, cero,
algoritmo, guarismo, derivan del nombre o la obra del matemático musulmán.
Las cifras hindúes en su camino hacia occidente van a sufrir una mutación en
dos grandes ramas: la del árabe escrito contemporáneo, y la usada por los calculistas de la arena, los calculistas con bastidor de polvo en lugar de ábaco. Estas últimas
son las llamadas “gubar” (polvo). Las cifras gubar magrebí-andalusíes son el antecedente inmediato de nuestro actual sistema de numeración.
El largo deambular de la numeración llega y se va a detener un instante en Albelda de Iregua.
6. Albelda de Iregua
El primer historiador moderno de la matemática, J.F. MONTUCLA, se expresaba así a finales del XVIII:
“A lo largo de un dilatado periodo de casi un siglo y medio no he podido en-
contrar a pesar de mi investigación, un solo matemático. Creo poder caracterizar
ese periodo como el de más profunda oscuridad que haya reinado en occidente.
Pero hacia la mitad del siglo X, el espíritu humano parece esforzarse para desper-
tarse de ese largo letargo. Aparecieron entonces algunos hombres que amantes de
los conocimientos matemáticos mostraron un esfuerzo digno de elogio para adquirirlos. Los árabes –entre los que florecían esos conocimientos- fueron para los
cristianos lo que antaño fueron los egipcios para los griegos ávidos de saber”.
[MONTUCLA, 1800]
En efecto, en ese periodo oscuro, la culta Córdoba, o en su defecto los cenobios
mozárabes del norte, eran los lugares de destino de los estudiosos cristianos. Como
señalará algo después Daniel de Morlay (siglo XII):
“La pasión por el estudio me hizo abandonar Inglaterra. Permanecí poco tiem-
po en París, pero no vi allí más que salvajes instruidos. Ya que es hoy en Toledo
donde se enseña a la gente la ciencia árabe, me apresuro a dirigirme allí para
escuchar a los más sabios filósofos del mundo”. [VERNET, J. 1999]
Tras la conquista de la zona de Logroño (aprox. 923), el rey asturleonés Ordoño
II hace construir el cenobio de San Martín de Albelda de Iregua. El desplome de la
montaña acabó con los restos del antiguo monasterio, pero el códice terminado por
Vigila en el año 976 se encuentra conservado en la biblioteca del Monasterio de San
Lorenzo de El Escorial.
En el siglo IX el monasterio de referencia para la ciencia es sin duda Santa Ma-
ría de Ripoll, pero ha sido al de San Martín al que le ha correspondido mostrar el
legado aprendido por los mozárabes andalusíes de las cifras indias:
“Y también a propósito de las cifras de la aritmética. Es necesario saber que los
indios poseen una inteligencia muy sutil y que los restantes conceptos les ceden el
paso en lo que concierne a la aritmética, la geometría y demás disciplinas libera-
les. Esto se pone de manifiesto de la mejor manera en las nueve figuras a través de
las cuales expresan cada grado de no importa qué nivel. Esta es la forma
9 8 7 6 5 4 3 2 1” [VIGILA, 976 ]
Respecto a las cifras gubar que se van a usar durante siglos por los musulmanes
occidentales, sólo se aprecia un giro de 90o de la figura del cuatro. Y respecto a las
actuales falta el cero, lo que revela poco dominio del sistema y el primitivo cinco
que se parece más a nuestro cuatro caligráfico.
Desde primeros del siglo XX, el centón de Vigila es una referencia obligada en
cualquier historia de las cifras. Ningún otro documento similar latino o romance se
ha encontrado en épocas próximas al Códice Albeldense.
Posteriormente aparecerán referencias a los ápices que atribuyen erróneamente
el origen del sistema al aritmético tardorromano Boecio.
7. Extensión de la aritmética árabe
No se producirá hasta mediados del siglo XII que la aritmética árabe se extienda
por occidente, no como referencia erudita, sino como una forma práctica competitiva de operar en oposición al ábaco.
La llegada del cálculo indio tendrá lugar tras la conquista de Toledo (1085)
cuando instigados por el Obispo Raimundo se inicien las traducciones latinas del
algorismo.
Normalmente se atribuye a Leonardo Pisano (Liber Abacci, 1201)
mayor importancia de la que tuvo para la implantación del algoritmo. El
verdadero “más vendido” medieval fue el “Algorimsus vulgaris” de Juan
de Sacrobosco, del que se conservan más de 200 versiones. Es destacable
también por su singularidad el “Carmen de algorismo” de Alexandre de
Villedieu, al tratarse de una aritmética en verso. Villedieu es continuador
de una tradición de uso de la poesía para la divulgación científicaque
prácticamente desaparecerá en occidente con el Renacimiento y la imprenta
8. La babel de los números
Está extendida como creencia simplista que un avance técnico o científico sus-
tituye con gran rapidez a la técnica o conocimiento anterior. En el caso de la nume-
ración estamos muy lejos de la realidad. Durante toda la Edad Media convivieron
en Occidente distintos sistemas de cálculo y tipos de números, llegando a imponerse
el sistema decimal con gran lentitud y según los usos.
En la península ibérica la confusión es aún mayor pues en el territorio coexisten
tres culturas: cristiana, musulmana y judía.
Inicialmente la cultura cristiana occidental usa la numeración romana y esporá-
dicamente hace referencia a la numeración alfabética griega.
Los musulmanes andalusíes utilizaron inicialmente su numeración alfabética,
pero además a su paso por Egipto tomaron la escritura griega de los coptos dando
lugar a las llamadas cifras “rumies” (rum: romano o griego, usado para referirse a
los bizantinos y al sacro imperio). Los coptos actuaron a modo de escribas y por
ello implantaron su numeración.
Por otra parte, los judíos usaban su numeración alfabética similar a la griega pe-
ro con el alefato.
Por otra parte, la generalización del uso de la numeración india no se retrasó en
su llegada a occidente, de forma que en el siglo X ya empezó a verse por calculistas
y astrónomos musulmanes. El contacto de los cristianos cordobeses con los musul-
manes da lugar a esa cultura mozárabe que recogen los cenobios del norte. El Códi-
ce de Vigila es un bello testimonio.
Lo que en el occidente cristiano medieval ocurrió a mediados del XII, debió de
ser similar al proceso de extensión en la Córdoba califal en el X. El testimonio de
Sa’id al-Andalusí, muerto en Toledo en el 1070, en el Libro de la Categorías de las
Naciones, revela ya una madurez de generaciones:
“Entre lo que los indios nos han legado de los conocimientos relativos a los nú-
meros, está la aritmética del polvo, que vulgarizó Muhammad ibn Musa al-
Jwarizmí y es el método de cálculo más simple, más rápido y más fácil de aprender,
el más cómodo de utilizar y el más estupendo por su composición. Esto testimonia
la agudeza de ideas de los indios, la excelencia de su creatividad y la capacidad de
invención”. [SA`ID, 1999 ]
Pese a todas las alabanzas de Sa’id, la penetración en todos los campos de uso
de los números “gubar” no fue inmediata. Los notarios y registradores cristianos y
árabes ante la confusión escriben los números en toda su extensión, tal como se
hace en los talones bancarios. En los apuntes de cuentas comerciales o de contabilidad se usarán cifras romanas o rumies. Y serán los calculistas árabes del polvo y los
astrónomos los que extenderán las cifras “gubaríes”.
9. Agítese todo en la Península Ibérica
Puesto que desde el siglo X la cultura árabe fue hegemónica en la Península Ibérica, lo normal es que terminara imponiendo sus métodos. Así, como ha estudiado
Palencia, los cristianos mozárabes de Toledo usaron durante dos siglos después de
la conquista las cifras “rumíes”.
Por otra parte, ¿quién iba a impedir a un matemático judío que actualizara su
numeración alfabética para hacerla decimal? Así Abraham ibn Ezra (+1167) desarrolló un sistema decimal con los nueve primeros símbolos del alefato y un cero
redondo igual al nuestro al que llama cifra (vacío, en árabe) o rueda en hebreo.
También es curioso que la numeración de ibn Ezra se escriba al revés: las unidades
son las primeras de la izquierda. Es destacable que un rey tan admirador y deudor
de la cultura árabe como Alfonso X forzara la utilización de la numeración romana,
pero no pudo evitar que la numeración gubar se imponga, en especial en las tablas
astronómicas: tanto las tablas toledanas como las alfonsíes posteriores están en
numeración india.
Las tablas utilizan una grafía similar con un cuatro muy parecido a un lazo, un
cinco igual al cuatro actual y un siete más próximo a la V invertida
Estos símbolos se conservarán en los manuscritos hasta el siglo XV. Con la imprenta se va a producir ya en la península el iro del cuatro y el siete, haciendo los
números árabes idénticos a los contemporáneos.
En la parte musulmana es de destacar que se usaron tanto las cifras gubar para
las aritméticas eruditas como las cifras rumies para la contabilidad financiera. Un
documento recientemente encontrado de la aduana de Almería que registra datos de
1477 a 1482 utiliza las cifras rumies.
Especial desasosiego se siente asistiendo a la degeneración de la cultura andalu-
sí, observando cómo el sistema rumí es usado por los moriscos españoles, en algún
caso convertido en mero recuerdo como ponen de manifiesto los estudios de La-
barta y Barceló (1988).
La complejidad es tal que los manuscritos del último gran matemático de Granada, al-Qálasadi al-Bastí, se encuentra en cifras gubar pero también en árabe decimal oriental.
10. Recapitulación y mística
En resumen, el medioevo en la península ibérica nos muestra el uso de los siguientes sistemas de
--
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números:
numeración romana
numeración griega
numeración hebrea
numeración rumí – copta
numeración decimal gubarí
numeración decimal oriental
numeración decimal hebrea
numeración rumí degenerada
numeración decimal cristiana de origen gubarí
resto de numeración sexagesimal para medidas angulares y ho-
rarias.
Y no podemos terminar una descripción de los sistemas numéricos hispano-
judío-árabe-cristianos sin una referencia a la mística de los números, que también
refuerza la utilización de los sistemas alfabéticos. En especial el desarrollo de la
Cábala, que establece una relación secreta entre letras y números, propia del uso del
alefato, y que tuvo en la península ibérica sus autores y libros más clásicos: Abraham Abulafiah (Toledo, 1240-1292) y Moisés ben Sem Tob de León (siglo XIII).
Esta mística, complementada con el lulismo ejerce una influencia que todavía se
percibe en Leibniz.
11. Bibliografía
ALLARD, A (2000) La aritmética en la Edad Media. Mundo Científico. 217. 49-55
ANTELO, A. (1991) Judíos españoles de la Edad de Oro, UNED, Madrid.
CAUNEDO DEL POTRO, B y CÓRDOBA DE LA LLAVE, R (2000) El arte del
algorismo. Mss. 46 de la Real Colegiata de San Isidoro de León. Junta de
Castilla León.
GROULARD, S (2000) Les versiones latines inédite de l’algorisme de Jean
Sacrobosco. UCL. Louvain-la-Neuve (1994)
IFRAH, G (1997) Historia Universal de las Cifras. Madrid. Espasa. Traducción
francesa de 1994.
LABARTA, A y BARCELO, C (1988) Números y cifras en documentos arábigos
hispanos. Universidad de Córdoba
MONTUCLA, J. F. (1800) Histoire des Mathematiques – An VIII Nouvelle editión
SA’ID AL-ANDALUSÍ (1999) Libro de las categorías de las naciones – Akal.
Madrid.
SALAVERT FABIANI, V. L. (1994) Aritmética y Sociedad en la España del XVI.
En: Garma – Flament – Navarro. Contra los titanes de la rutina. CSIC, 51-69.
SÁNCHEZ PÉREZ, J.A. (1949) La aritmética en Roma, en India y en Arabia.
CSIC Madrid.
SÁNCHEZ PEREZ, J.A. (1935) Sobre las cifras rumies. Al-Andalus, 3, 97-125
SANT CLIMENT, F (1998) Summa de l’art d’arihmética. Facsímil de Antoni Mallet de la edición de 1482. Universidad de Vic.
SESIANO, J (1999) Une introduction á l’histoire de l’algebre. P.P.U.R. Lausanne.
SMITH, D.E. (1919) Number stories of long ago. NCTM – Washington. First
Printing.
TABLAS DE TOLEDO. Mss 9271 de la Biblioteca Nacional de Madrid.
TABLAS ALFONSÍES. Mss 4238 de la Biblioteca Nacional de Madrid.
VERNET, J. (1999) Lo que Europa debe al Islam de España. Círculo de lectores.
Barcelona.
VIGILA (976) Códice Albeldense. Biblioteca del Real Monasterio de El Escorial.
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